王振东：大风起兮云飞扬——漫话流动显示及纳斯方程

　　古代诗词：以流动显示来抒发情思

　　大风起兮云飞扬，

　　威加海内兮归故乡，

　　安得猛士兮守四方！

　　这是汉高祖刘邦（公元前247～前195）在击破英布军以后，回长安时，途经他的故乡沛（今江苏徐州市沛县），设宴招待家乡的故交父老，酒酣时自己击筑（古代乐器）而歌，所作慷慨豪情的《大风歌》。

　　《史记：高祖本纪》：“高祖（刘邦）还归，过沛、留。置酒沛宫，悉召故人父老子弟纵酒，发沛中儿得百二十人，教之歌。酒酣，高祖击筑，自为歌诗曰：大风起兮云飞扬，威加海内兮归故乡，安得猛士兮守四方！令儿皆和习之。高祖乃起舞，慷慨伤怀，泣数行下”，正是记载了这段历史。刘邦短短三句，洋洋自得，气壮山河，但并没有被胜利冲昏头脑，最后一句流露出了居安思危的忧患意识。

　　刘邦在这里是以“云飞扬”流动显示大气运动的物理图像，来抒发衣锦还乡、荣归故里的壮志豪情。这是历史上有名的一则典故,“大风歌”或“大风诗”的来历。之后直至现代，不少人皆仿此“歌大风、唱大风”，以表示慷慨悲歌、治国安邦的豪情壮怀。如：

　　汉武帝刘彻（前156～前87）也有—首以风吹白云飞，表达情感的诗《秋风辞》

　　秋风起兮白云飞，草木黄落兮雁南归。

　　兰有秀兮菊有芳，携佳人兮不能忘。

　　泛楼舡兮济汾河，横中流兮扬素波。

　　箫鼓鸣兮发棹歌，欢乐极兮哀情多。

　　少壮几时兮奈老何。

　　唐太宗李世民（599～649）《辛武功庆善宫》诗

　　共乐还乡宴，欢比大风诗。

　　《过旧宅二首》之二

　　八表文同轨，无劳歌大风

　　李白《登广武古战场怀古》诗

　　按剑清八极，归酣歌大风

　　林宽《歌风台》诗

　　蒿棘空存百尺基，酒酣曾唱大风词

　　王德贞《奉和圣制过温汤》诗

　　停舆兴睿览，还举大风篇

　　直到近代也有类似的大风诗，如：

　　董必武（1885～1975）《感时杂咏》诗

　　欲守四方歌大风，飞鸟未尽先藏弓。

　　朱德（1886～1976）《赠友人》诗

　　北华收复赖群雄，猛士如云唱大风。

　　陈毅（1901～1972）《莱芜大捷》诗

　　鲁中霁雪明飞帜，渤海洪波唱大风。

　　现在以云来显示大气的流动，己很常见。如在电视台的气象预报节目中，人们常能看到由云显示千姿百态流动图案的卫星云图，所显示大气中所发生的动力过程。

　　也有古诗用风叶和船只所显示的流体运动，来形象、生动地比喻和描述远行在外人的行迹和旅途。如宋代诗人范成大（1126～1193）的五言律诗《道中》

　　月冷吟蛩草，湖平宿鹭沙。客愁无锦字，乡信有灯花。

　　踪迹随风叶，程途犯斗槎。君看枝上鹊，薄暮亦还家。

　　程途是指旅程途中，槎（chá）亦做查、楂，系水中木筏意，犯斗槎是指远行所乘的船只。

　　古代诗人还常以杨絮、柳絮以及虫类拉的丝（亦名游丝、晴丝），所显示的空气流动情况（风、对流或布朗运动），来抒发各种各样的情思，如：

　　韩愈（768～824）《晚雪》诗

　　杨花榆荚无才思，唯解漫天作雪飞。

　　以及《次同冠峡》诗

　　落英千尺堕，游丝百丈飘。

　　周紫芝《踏莎行》词

　　情似游丝，人如飞絮，泪珠阁定空相觑。

　　范成大《碧瓦》诗

　　无风杨柳漫天絮，不雨棠梨满地花。

　　以及《初夏二首》诗

　　晴丝千尺挽韶光，百舌无声燕子忙。

　　韶光是美好的时光，这里指春天。诗人想象春末夏初的游丝是在恋惜时光，想把春天挽留住。

　　石矛《绝句》诗

　　来时万缕弄轻黄，去日飞毬满路旁。

　　我比杨花更飘荡，杨花只是—春忙。

　　以杨花比喻自己奔波游宦，道出了深沉的乡思旅愁。

　　苏轼《水龙吟•和章质夫杨花韵》词

　　似花还似非花，也无人惜从教坠，抛家旁路，思量却是，无情有思。

　　将杨花比作缠绵衰感的思妇。

　　文天祥《过零丁洋》诗

　　山河破碎风抛絮，身世飘摇雨打萍

　　把杨花比作日益沦丧的国土。

　　各种各样的流动显示方法

　　流动显示是在力求不改变流体运动性质的前提下，用图像显示流体运动的方法，其任务是使流体不可见的流动特征,成为可见的。俗话说“百闻不如—见”，人们通过流动显示看到了流场的特征，从而可进一步研究探索和应用流体运动的规律。

　　西方一些人认为，意大利文艺复兴时期的艺术家和科学家达•芬奇（Da.Vinci，1452～1519），是第一个运用流动显示的方法,来叙述涡旋构图的人。但比起运用流动显示的图像，来描述峡江水流涡旋的运动特征，和抒情言志的我国古代诗人，达•芬奇却要落后好几个世纪了。

　　首先应用流动显示方法,对现代流体力学发展做出重要贡献，当推英国科学家雷诺（O.Reynolds,1842～1912）。他在1883年，将苯胺染液注入长的水平管道水流中做示踪剂，从而可以看出管中水的流动状态。当流速小时，苯胺染液形成一根纤细的直线与管轴平行，表示流动是稳定的和有规则的流动，称为层流；
当流速慢慢地增加，达到某一数值时，流动形式突然发生变化，那根苯胺染液细线受到激烈的扰动，苯胺染液迅速地散布于整个管内，表示流动己十分紊乱，称为湍流。这一试验明确提出了两种不同的流动状态，及其转捩的概念，还提出了后来被称为“雷诺数”的这一十分重要的无量纲参数。至今湍流研究的历史，一般都公认从1883年雷诺这个经典的流动实验算起。

　　德国科学家普朗特（L.Prandtl,1875～1953），1904年用在水中撤放粒子的方法，获得了水沿薄平板运动的画面。由于画面上粒子留下的轨迹正比于流动的速度，在靠近壁面有一薄层，其中速度比离壁面较远处的速度明显较小，且有大的速度梯度。正是对这一流动显示画面的观察和分折，使他提出了边界层的概念，指出在远离壁面处，可不计黏性，能应用理想流体力学的研究结果；
而在物体表面附近的薄层中，由于有很大的速度梯度，从而产生很大的剪切力，不能忽略黏性。这一基于流动显示的新观点，使得可利用边界层很薄的特点，使问题的数学处理大为简化，至今它仍是黏性流体力学最重要的基础理论之一。

　　20世纪50年代，有人提出了氢气泡显示技术：用很细的金属丝放在水中作为阴极，通电后在金属丝上形成的氢气泡随水流走，而成为显示流场的示踪粒子。克拉茵（Kline）等1967年首先用氢气泡显示技术，发现了近壁湍流的相干结构（Coherent Structure,也有译为拟序结构）。这是一种大尺度的涡旋运动，它在将平均运动动能转变为湍流动能的过程中，作了大部分贡献。后来经许多人用更精确、先进的实验手段（热线热膜测速、激光测速以及数据自动采集、图像处理技术等）进行重复，使实验越做越精确。不但对壁湍流，而且对自由剪切湍流也发现了相干结构，到20世纪80年代，湍流相干结构已为国际流体力学界公认，并认为这是对湍流生成、维持、演化起主要作用的结构。这一由流动显示所发现的相干结构，被认为是对湍流认识上的一次革命，是在湍流研究上的一次重大进展。80年代之后至今，关于湍流相干结构及其控制的研究，一直湍流研究的热点课题。

　　由以上三个例子可见，流动显示是了解流体运动特性，并深入探索其物理机制的一种直观、有效的手段。它能发现新的流动现象，如层流和湍流两种流动状态及其转捩、涡旋、分离、激波、边界层、壁湍流相干结构等；
据了解，流动显示技术己在许多实际问题的研究中,发挥了很大的作用，如三角翼和双三角翼的前缘主涡、二次涡和尾涡的形成和发展，钝物体尾迹的涡旋结构，以及多体干扰等。

　　上面提到的流动显示方法，,主要只涉及到示踪法。示踪法是在流体中加入某些示踪物质，通过对加入物质踪迹观察得到流体运动的图像。由于所加示踪物质的不同，又可分为用途不一的烟迹（含烟丝）法、染色线法、空气泡和氢气泡法、氦气泡法、激光-荧光法、蒸汽屏法等。当然，在流体中加入了示踪粒子，就又存在粒子的跟随性问题。

　　除示踪法外，流动显示的方法还有光学方法和表面涂料显迹法。光学方法又分阴影法、纹影法和干涉法。前两者利用了光通过非均匀流场不同部位时的折射效应，后者通过扰动光和未扰动光的相互干涉得到干涉条纹图，从而进一步可得到流动参数的定量结果。表面涂料显迹法是在物面上涂以薄层物质，以其与流动相互作用时，产生一定的可见图像，从而可定性或定量的推断物面附近的流动特性。按所涂物质的不同，还可分为油流（荧光油流）、丝线（荧光微丝）、染料、升华、相变涂层、液晶、感温漆等方法。

　　流动显示技术目前发展相当快，特别是与计算机图像处理技术相结合，使传统的流动显示方法得到很大的改进。计算机数据的采集与处理，可对显示结果进行深度的加工分析，以获得更清晰的流动图像，以及有关流动参数的分布。

　　多种流动显示方法的联合使用，又可得到更丰富的流动信息。随着光学技术和计算机技术的发展，激光全息术、光学层析术、散斑、粒子成像测速（PIV—Particale Image Velocimetry）、激光诱导荧光（LIF—Laser Induce Fluorescent）等方法也己出现并在发展完善之中，为实现瞬时、高分辨率和定量化的空间流动显示展现了美好的前景。

　　数值模拟、实验检验和世纪数学难题

　　要弄清流动显示对流体力学的研究能有多大的作用，还需要从流体力学的研究现状来说起。

　　力学是以实验为基础的科学，流体力学更是建立在实验的基础之上。在流体力学中，绝大多数重要的概念和原理都源于实验，例如：大气压强，流体的可压缩性，黏性剪应力，层流，湍流，雷诺数，卡门涡，二次流，附加质量，激波，孤立波，湍剪切流的相干结构，声障现象等；
又如，完全气体的状态方程，连续性方程，能量守恒原理，达西定律，托里拆利原理，伯努利原理等。

　　瑞士数学家、力学家欧拉（Euler,L. 1707~1783）于1755年,建立了理想流体的动力学方程组，现称为欧拉方程组。法国力学家、工程师纳维（Navier,C.L.M.H. 1785~1836）于1821年，以及英国力学家、数学家斯托克斯（Stokes,G.G. 1819~1903）于1845年,分别对黏性不可压缩流体建立了动力学方程组，现称为纳维—斯托克斯方程组。在无黏性的情况下，纳维―斯托克斯方程组可简化为欧拉方程组。现在人们对于自然界、国防和各种工程技术中的流体力学问题，都在用纳维―斯托克斯方程组进行分析、计算和研究。纳维―斯托克斯方程组（亦可简称为：纳斯方程），现被公认是描述流体运动规律的流体力学基本方程组。

　　对于纳维—斯托克斯方程组，经过150多年的研究，仅在—些简化的特殊情况下，找到不多的准确解。由于纳维—斯托克斯方程组光滑解的存在性问题，至今尚没有在数学上解决，且这个问题又关系到人类的生产、生活、军事和对大自然的认识，极其重要，所以克莱数学促进会（Clay Mathematics Institute ）于2000年5月24日在法国巴黎的法兰西学院，将其发布为新千年数学大奖悬赏的7个世纪数学难题之—，悬赏奖金高达一百万美元。克莱数学促进会发布的7个世纪数学难题是：P与NP问题、黎曼（Riemann）假设、庞加莱（Poincaré）猜想、霍奇（Hodge）猜想、贝尔什和斯威尔顿（Birch及Swinnerton-Dyer）猜想、纳维―斯托克斯方程、杨―米尔斯（Yang-Mills）理论。比纳维—斯托克斯方程组简单得多的欧拉方程组，解的存在性的问题也尚未得到证明，只是它不属于悬赏奖励的问题内容。

　　在学习微分方程理论時，我们知道：

　　（1）如果某物理问题的微分方程，被证明其解不仅存在而且唯一时，则无论用何种方法找到这个微分方程的解，可以认为这就是该物理问题方程的解。

　　（2）当某物理问题的微分方程，被证明解是存在的，但却不见得唯一时，则如用—种方法找到了解，还必须研究解的稳定性问题，只有证明了所找到的解是稳定的，才能认为这个解有可能代表实际存在的物理现象。

　　（3）如果某物理问题的微分方程，解的存在性尚还不能被证明，若用某种近似方法（如渐近方法或差分法、有限元法等各种数值方法）找到了“解”，则难以肯定它是否真是代表实际存在的物理现象的解。

　　不幸的是，流体力学中所遇到的欧拉方程组和纳维—斯托克斯方程组，正好都属于第三种情况。

　　如果经过数学家的努力，解决了悬赏的问题，纳维—斯托克斯方程组解的存在性问题得到了证明，这自然是皆大欢喜的好事。(点击此处阅读下一页)

　　可是关于纳维—斯托克斯方程组解的存在性问题的悬赏，也还包括给出其解不存在的证明。如果是后者获奖，那问题就大了。当然也有这种可能，经过仔细研究后认为纳维—斯托克斯方程组应做出某些修正和改进，才能使解存在。如是这样，流体力学教科书就需要改写了。

　　可是，大量的自然界、国防和各种工程实际中的流体力学问题需要解决，并不能等你弄清方程组解的存在性后再说。人们只能在用理论分析、数值计算、物理实验相结合的方法，研究、解决所遇到的流体力学问题。

　　这三种方法各有优缺点。实验方法的优点是能直接解决生产中的复杂问题，能发现流动中的新现象和新原理，其结果可作为捡验其他方法是否正确的依据；
缺点是对不同情况需做不同的实验，且所需人力、财力、物力较多，花费大。分析方法的优点是可明确给出各物理量与流动参数之间的变化关系，普适性较好；
缺点是数学上的困难很大，能获得的分析解（包括近似的分析解）的数量有限。数值计算方法的优点是可对分析法无法求解的问题，求得其数值解，且花费相对较小；
缺点是对复杂而又缺乏完善数学模型的问题，仍无能为力。分析解及数值解都是建立在具有—定假设条件的运动方程组之上的，其结果仍都应受到物理实验结果的捡验。由于纳维—斯托克斯方程组解的存在性问题至今尚未解决，就更难以肯定数值方法找到的解，是否代表真实的流体运动。所以，数值摸拟与物理实验的本质差别并未消失，数值模拟尚不能替代物理实验，数值摸拟的结果必须用物理实验来捡验其正确性。

　　由于计算机和数值计算技术的快速发展，出于科学研究和生产实际的需要，对于流体力学问题进行大规模数值模拟，现己很常见，国内已有几种功能较强的计算流体动力学的商品软件（如 FLUENT, STAR—CD, TASC flow，PHOENICS 等）在应用，且已使用并行计算机进行大规模数值模拟。但所得到的数值模拟结果，仍须用物理实验来检验其正确性。而作物理实验又需要投入更多的人力、财力、物力的支持，所以巧妙地构思、设计小规模、精细的物理实验，以较少的花费来捡验大规模数值模拟的正确性，就显得十分重要。

　　流动显示方法和技术，正是我们在流体力学研究中，能达到上述目的的重要实验方法和技术，它不仅能提出新的观念、新的研究模型，揭示流体运动规律，也能为流体力学计算提供可靠的流动条件（如边界层转捩点、激波位置、涡核位置、尾迹宽度等），和对数值模拟的结果进行检验。

　　附录：新千年数学大奖悬赏的7个世纪数学难题

　　Notices of the AMS（美国数学会（AMS）的会刊）在克莱数学促进会发布7个世纪数学难题后，曾为悬赏问题准备了如下的简介：

　　P和NP问题：一个问题称为是P的，如果它可以通过运行多项式次（即运行时间至多是输入量大小的多项式函数）的一种算法获得解决；
一个问题称为是NP的，如果所提出的解答，可以用多项式次算法来检验。P等于NP吗？

　　Riemann假设：黎曼ζ函数的每个非平凡零点,有等于1/2的实部。

　　Poincaré猜想：任何单连通闭3维流形同胚于3维球。

　　Hodge猜想：任何霍奇类关于一个非奇异复射影代数簇，都是某些代数闭链类的有理线性组合。

　　Birch 及Swinnerton–Dyer猜想：对于建立在有理数域上的每一条椭圆曲线，它在1处的L函数变为零的阶，等于该曲线上有理点的阿贝尔群的秩。

　　Navier–Stokes方程组：（在适当的边界及初始条件下）对3维纳维–斯托克斯方程组，证明或反证其光滑解的存在性。

　　Yang–Mills理论：证明量子杨–米尔斯场存在，并存在一个质量间隙。

　　参考文献

　　1、王振东，但见流沫生千涡 —漫话流体中的旋涡，科学，2004，56（2）：59～61

　　2、王振东，峡江漱石水多漩 —漫谈流体中的旋涡，力学与实践，1995，17（2）：68～70

　　3、王振东，踪迹随风叶，程途犯斗搓 —漫谈流动显示及应用，力学与实践，1996，18（2）：75～77

　　4、 王振东、姜楠，新千年数学大奖问题 ——证明纳维—斯托克斯方程组光滑解的存在性，力学与实践，2003，25（3）：72—73

　　5、王振东，关于流体力学方法论问题，力学与实践，2004，26（2）：83～85

　　6、王振东、武际可，力学诗趣，天津：南开大学出版社，1998

　　7、曹道衡选注，两汉诗选，北京：中华书局，2005

　　8、缪斌、霍松林等编，宋诗鉴赏辞典，上海：上海辞书出版社，1987

　　9、徐成志、王光汉等编，常用典故词典，上海：上海辞书出版社，1985

　　10、Allyn Jackson ，Million-dollar Mathematics Prizes Announced ,Notices of the AMS,2000,47（8）：877～879

　　11、Wenjei Yang ,Handbook of Flow Visualization ，Hemispere Publishing Corporation,1980

　　12、Smits AJ,Lim TT , Flow Visualization ,Imperial College Press 2000

　　关键词 流动显示 ， 数值模拟 ， 实验检验 ， 纳维‐斯托克斯方程

　　附图

　　云显示的美国2005年卡特里娜飓风

　　尘物显示的龙卷风

　　液晶显示汽轮机叶片附近的湍流

　　烟迹显示的流动图

　　染色法显示的卡门涡街

　　（本文原刊登于《自然杂志》2006年28卷5期）

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