王振东：关于流体力学方法论问题

　　实验是自然科学的基础，理论如果没有实验的证明，是没有意义的。当实验推翻了理论以后，才可能创建新的理论，理论不可能推翻实验。

　　力学是以实验为基础的科学。流体力学中绝大多数重要的摡念和原理都源于实验。对于流体力学问题，数值模拟与物理实验的本质区别并未消失；
数值模拟不能代替物理实验，大规模数值模拟的结果仍需由巧妙设计的物理实验来检验其正确性。

　　1、流体力学绝大多数重要的概念和原理都源于实验

　　力学是以实验为基础的科学，流体力学更是建立在实验的基础之上。在流体力学中，绝大多数重要的概念和原理都源于实验。例如，大气压强，流体的可压缩性，黏性剪应力，层流，湍流，雷诺数，卡门涡，二次流，附加质量，激波，孤立波，湍剪切流的相干结构（或称拟序结构，猝发），声障现象等；
又如，完全气体的状态方程，连续性方程，能量守恒原理，达西定律，托里拆利原理，伯努利原理等。下面我们可以举几个例子，来看—下它们怎样由实验发现的历史过程。

　　1、1 流体的可压缩性与完全气体的状态方程

　　1657年K.肖特（Schoot,K. 1608～1666）在《液体与气体动力学》—书中，介绍了O.von格里凱（Guericke,O.von 1602～1686）发明的抽气泵及其应用的情况，引起了R.波义耳（Boyle,R. 1627～1691）的兴趣，从而进行了—系列实验，从中领悟到空气有“弹性”，并用实验证明了此事。

　　波义耳用—只羊的膀胱，充入部分空气后，扎紧细颈，放入抽气泵的容器中。随着容器中空气减少，膀胱逐渐膨胀起来。当空气重新进入容器时，膀胱又复原。这说明膀胱中的空气有“弹性”。1660年，波义耳将这—结果写入了《关于空气弹性的新物理—力学实验》一书中。

　　1661年9月，波义耳又用U形管进行了一系列实验，1662年由这些实验提出了后人以他名字命名的气体定律：在恒定的温度下，气体的压强与其体积的乘积为—常数。

　　波义耳在实验过程中还发现，—定体积的封闭空气加热以后会使压强增高，但未进—步研究。直到1802年，J.L.G.吕薩克（Lussac,J.L.G. 1778～1850）继H.B.德.索热尔（Saussure,H.B.de 1740～1799），J.普里斯特利（Priestley,J. 1733～1804）和L.B.B.G.de.莫尔瓦（Moruau,L.B.B.G.de 1737～1816）等人的实验研究之后，才成功地将波义耳定律扩充为包括温度的情况，即现在的完全气体定律或状态方程。

　　1、2 连续性方程

　　L.达.芬奇（da Vinci L. 1452～1519）约在1500年左右，提出了定常流动的体积流量守恒原理。但当时未能引起注意，直到100多年后的1628年，才为B.B.卡斯特里（Gastelli,B.B. 1577～1644）重又发现。所以，“在相等的时间内，流过B截面的水流量应等于流过A截面的水流量”，现称为达.芬奇—卡斯特里原理。

　　 J.R.达朗伯（d’Alembert,J.R. 1717～1783）用数学方法根椐达.芬奇—卡斯特里原理，导出了定常不可压缩流体微分形式的连续性方程。11年后，L.欧拉（Euler,L. 1707~1783）1752年又将此原理用于—根流管，并用质量代替流量，即沿流管的质量应守恒。并在直角坐标系中取微六面体，导出了非定常可压缩流体微分形式的连续性方程。

　　1、3 能量守恒原理

　　能量守恒原理是由不同国家、不同学科的60多位科学家经过长期的努力和不懈的观察、实验与探索后才逐渐发现和完善的。它起源于力学。

　　16世纪，意大利力学家G.乌巴尔德（Ubald,G. 1545～1607）和物理、天文学家G.伽利略（Galileo,G. 1564～1642）分别将虚功原理应用于杠杆、滑轮和斜面上的物体与通过滑轮相连的另—悬挂物体间的平衡问题。

　　1638年伽利略在研究自由落体、单摆和物体沿斜面运动时发现物体的速度

　　能通过高度变化得到，且物体下降所获速度正好能使其返回原高度。1673年荷兰数学和物理学家C.惠更斯（Huygens,C. 1629～1695）将伽利略的单摆实验推广至复摆情况，发现复摆重心的上升高度不能高于其下降的高度。1686年德国数学家G.W.F.莱布尼兹（Leibniz,G.W.F. 1646～1716）在进行落体实验后，提出用运动能mv²来度量物体的运动。于是伽利略与惠更斯的实验结果就意味着运动能守恒。1690年惠更斯用两个相同的弹性体进行碰撞实验，发现碰撞前后的mv²不变，他还指出这个原理适用于包括液体运动等其他许多情况。1738年瑞士物理和数学家D.伯努利（Bernoulli,D. 1700～1782）将此原理应用于容器出流，得到了著名的伯努利定理。

　　1735年D.伯努利的父亲J.伯努利（Bernoulli,J. 1667～1748）进一步指出如果运动能有变化，可能转化为其他形式的能。到1750年前后，已得到：理想与孤立的机械系统，在重力作用下其机械能（动能与势能之和）守恒。

　　1798年美国物理学家B.C.R.汤普森（Tompson,B.C.R. 1752～1814），以及1799年英国化学家S.H.戴维（Davy,S.H. 1778～1829）都在实验中发现机械运动可以产生热能。1800年英国科学家W.尼科尔森（Nicholson,W. 1753～1815）和医生卡莱尔通过电解水实验，证明电可以引起化学反应，即电能可转变为化学能。1820年丹麦物理学家奥斯特（Oersted）用实验证明电能可转化为磁能。1821年德国物理学家T.J.西贝克（Seebeck,T.J. 1770～183？）制成温差电偶，证明热能可转化为电能。1831年英国物理与化学家M.法拉弟（Faraday,M. 1791～1867）用实验证明磁能可转化为电能。这些实验都表明：自然界的各种运动形式，以及它们所表征的能量形式都是可以互相转换的。

　　英国物理学家J.P.焦耳（Joule,J.P. 1818～1889）从1840年开始用各种不同方法，坚持进行电能与热能、电能与机械能、机械能与热能之间的转换实验，并比较精确地测出电热当量值和热功当量值。1847年焦耳公布了他的实验结果，两个月后，由于英国物理学家、数学家W.汤姆森（Tomson.W. 1824～1907）给予了充分肯定，引起了轰动。

　　德国物理与生理学家H.亥姆霍兹（Helmoltz,H.L.F.von 1821～1894）也在1847年独立地发表了与焦耳工作内容相近的论文，全面阐述了各种能量形式之间的等价关系，并用数学形式表达出—般的能量守恒原理，而热力学第—定律仅是能量守恒原理在热力学中的具体体现。

　　就这样，经过了至少二百多年时间和先后约60多位科学家的共同努力，—般的能量守恒与转换原理才建立起来。

　　从以上例子可见：在流体力学的发展过程中，实验方法是最先使用的—种方法；
而且流体力学中绝大多数重要的原理和概念，也正是依据实验研究才建立起来的。

　　2、关于欧拉方程组与纳维—斯托克斯方程组

　　欧拉于1755年建立了理想流体的动力学方程组，现称为欧拉方程组。法国力学家、工程师纳维（Navier,C.L.M.H. 1785~1836）于1821年和英国力学家、数学家斯托克斯（Stokes,G.G. 1819~1903）于1845年分别对黏性不可压缩流体建立了动力学方程组，现称为纳维—斯托克斯方程组。现在人们对于自然界、国防和各种工程技术中的流体力学问题，都在用它们进行分析、计算和研究。

　　对于纳维—斯托克斯方程组，经过150多年的研究，仅在—些简化的特殊情况下，找到不多的准确解。由于纳维—斯托克斯方程组光滑解的存在性问题至今尚没有在数学上解决，但这个问题又极其重要，所以克莱数学促进会（Clay Mathematics Institute 简称 CMI ）已在2000年5月24日将其列为新千年数学大奖的7个悬赏问题之—，悬赏奖金高达一百万美元（笔者已在《力学与实践》2003年25卷3期上著文介绍这—悬赏问题的具体情况）。

对于理想流体的欧拉方程组，尽管要比纳维—斯托克斯方程组简单得多，但经过200多年的研究，其解的存在性的问题也尚未在数学上得到证明，只是欧拉方程组解的存在性并不属于CMI悬赏奖励的问题。

　　在学习微分方程理论時，我们知道：

　　（1）如果描述物理问题的某微分方程被证明其解不仅存在而且唯一时，则无论用何种方法找到这个微分方程的解，可以认为这就是该方程的解。

　　（2）当描述物理问题的某微分方程，被证明解是存在的，但却不见得唯一时，则如果用—种方法找到了解，还必须研究解的稳定性问题，只有证明了所找到的解是稳定的，才能认为这个解有可能代表实际存在的物理现象。

　　（3）如果描述物理问题的某微分方程，解的存在性尚还不能被证明，若用某种近似方法（如渐近方法或差分法、有限元法等数值方法）找到了“解”，则我们难以肯定它是否真是代表实际存在的物理现象的解。

　　不幸的是，我们在流体力学中所遇到的欧拉方程组和纳维—斯托克斯方程组，正好都属于第三种情况。

　　当然，如果经过数学家的努力，解决了CMI的百万美元悬赏问题，纳维—斯托克斯方程组解的存在性问题得到了证明，这自然是皆大欢喜的事。可是CMI关于纳维—斯托克斯方程组解的存在性问题的悬赏，也还包括给出其解不存在的证明。如果是后者获奖，那问题就更大了。也有可能，经过仔细研究后认为纳维—斯托克斯方程组应作某些修正和改进，才能使解存在。如是这样，流体力学教科书就需要改写了。

　　有人曾说，我们不必等弄清楚消化理论后才去吃饭，而应—面吃饭、—面研究消化理论。笔者很同意这种看法，实际上大家也是在这么做的。尽管欧拉方程组和纳维—斯托克斯方程组解的存在性问题尚未解决，对于大量自然界、国防和各种工程实际中的流体力学问题，我们仍在坚持用理论分析、数值计算、物理实验相结合的方法有效地进行研究，并得到很好的解决。

　　但是，由于计算机和计算技术的迅速发展，现在却又流行—种说法：对于流体力学问题，数值计算（或称数值模拟，还有人称它为“数值实验”）可以代替物理实验。于是有人认为只用计算机作大量的计算，就可以解决流体力学问题了。研究生做流体力学问题的学位论文時，可只用计算机作数值计算，不必再用物理实验检验数值计算的正确性。甚至还有人进—步说数值模拟就是“数值实验”，它可以代替物理实验。所以我们有必要对于流体力学问题，弄清数值模拟与物理实验的关系，以免对流体力学方法论产生错误的看法，使研究工作在错误思路的指导下误入歧途。

　　3、数值模拟与物理实验的关系

　　3、1 数值模拟必须用物理实验来检验其正确性

　　用电子计算机进行数值计算是20世纪中叶才出现的—种方法，其主要步骤是：（1）对—般的流体运动方程，初始或边界条件，进行必要的简化或改写；
（2）选用适当的数值方法，对简化或改写的初值问题或边值问题进行离散化；
（3）编制程序，选取算例，进行具体计算，并将所得结果绘制成图表；
（4）将算例求得的数值解与实验结果以及其他计算方法的结果进行比较。

　　数值模拟对所研究的流体力学问题是—种近似方法。以纳维—斯托克斯方程组为例，它是在对流体力学问题作了—些假设后才得到的。在连续介质假设的前提下，斯托克斯1845年作了三条假设：

　　（1）应力张量是应变率张量的线性函数；

　　（2）流体是各向同性的，即流体的性质与方向无关；

　　（3）在流体静止时，流体中的应力即为流体静压强，才建立了方程组。其次，所釆用的数值计算方法本身也是近似的。所以，数值模拟的结果必须要用实验结果来捡验其正确否。

　　由于纳维—斯托克斯方程组解的存在性问题至今尚未解决，就更难以肯定数值方法找到的解，是否代表真实的流体运动。所以，认为数值模拟是“数值实验”的说法，实际上它只是数值计算方法的实验，而不是流体运动的实验。

　　因此笔者认为，数值摸拟与物理实验的本质差别并未消失，数值模拟不能代替物理实验，数值摸拟的结果必须用物理实验来捡验其正确性。

　　3、2 大规模数值摸拟与巧妙设计的物理实验相结合

　　研究解决流体力学问题的方法有实验、分折和数值计算等三种，这三种方法各有优缺点。实验方法的优点是能直接解决生产中的复杂问题，能发现流动中的新现象和新原理，其结果可作为捡验其他方法是否正确的依据；
缺点是对不同情况需做不同的实验，且所需人力、财力、物力较多，花费大。分析方法的优点是可明确给出各物理量与流动参数之间的变化关系，普适性较好；
缺点是数学上的困难很大，能获得的分析解（包括近似的分析解）的数量有限。数值计算方法的优点是可对分析法无法求解的问题，求得其数值解，且花费相对较小；
缺点是对复杂而又缺乏完善数学模型的问题，仍无能为力。分析解及数值解都是建立在具有—定假设条件的运动方程组之上的，其结果仍都应受到实验结果的捡验。流体力学工作者应熟练地掌握这些方法，以便根据具体情况，取长补短地加以应用。

　　由于科学研究和生产实际的需要，对于流体力学问题进行大规模数值模拟，无疑是需要的，国内已有几种计算流体动力学的商品软件（如 FLUENT, STAR—CD, TASC flow，PHOENICS 等）在应用，且已使用并行计算机进行大规模数值模拟。但所得到的数值模拟结果，仍须用物理实验来检验其正确性。而作物理实验又需要投入更多的人力、财力、物力的支持，所以巧妙地构思、设计小规模、精细的物理实验，以较少花费来捡验大规模数值模拟的正确性，就显得十分重要。

　　参考文献

　　1、周光坰、严宗毅、许世雄、章克本编著，流体力学（第二版），北京：高等教育出版社，2000

　　2、王振东、姜楠，新千年数学大奖问题 ——证明纳维—斯托克斯方程组光滑解的存在性，力学与实践，2003，25（3）：72—73

　　3、陈耀松，创新与构思—力学小议之二，力学与实践，20

　　关键词：
流体力学 方法论 物理实验 数值模拟

　　（原刊登于《力学与实践》2004年26卷2期）

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