新加坡MPH教材应用题“模型图”简介与教学启示

　　摘要：近年来，新加坡的课程体系备受国际数学教育界的广泛关注，其与我国国内教材最大的不同是新加坡教材使用的“模型图”，这种模型图在解决应用题过程中起着非常重要的作用。本文对国内人教版教材与新加坡MPH教材应用题图示表征的特点、呈现方式、指导方法三个方面进行比较，并提出几点相关的教学建议。
　　关键词：模型图;表征;应用题
　　近年来因新加坡学生在TIMSS测试中的表现杰出，新加坡的课程体系备受国际数学教育界的广泛关注。笔者在中国和新加坡教材比较中，发现新加坡教材表征应用题的“模型化方法”与我国教材有很大不同。
　　“模型化方法是指在问题解决过程中，通过画一个模型或者示意图而对问题做出表征。”新加坡教材中的“模型或者示意图”（以下统称“模型图”）是怎样的？教材中又是如何引导学生画模型图的？模型化方法给我们的教学带来怎样的启示呢？
　　一、新加坡教材模型图简介
　　1.新加坡教材的模型图是怎样的
　　新加坡小学教材中大量使用的模型图，有些文章中也称之为色条图或者矩形图（如下图1）。这种模型化方法自引入以来，便成为新加坡教材中一个显著的标志。学生通过这一模型可直观地表达出已知信息与未知信息之间的关系。
　　2.矩形图有怎样的优势
　　与新加坡教材相比，我国教材中则大多数使用线段图。矩形图和线段图都具有可视化的优势，有利于学生发现问题中的数量关系，进而达到解决问题的目的。这两种图形各有优劣。从简化程度来讲，线段图更胜一筹，它以线段长短、变化表达数量关系，简洁易懂且作图容易。但从意义的建构来说则矩形图更胜一筹，因为矩形图是二维的，长边宽边都可以被分割成更小的单位，所以这种模型更适用于解决复杂的、多步骤的问题，如一些图形的面积应用问题、数的认识、数的计算、测量等方面。
　　二、新加坡教材模型图的编写有怎样的特点
　　1.始终使用模型图表征数量关系
　　与我们国内教材丰富多元的表征方式不同，新加坡教材一年级至六年级只采用矩形图表征数量关系的。这两种方式各有利弊。多元的表征给学生提供了更多解题策略的选择，但是对于小学生尤其是低段学生来说，过多的方法可能造成儿童表征时不知如何选择的问题。新加坡统一的表征方式，解题策略比较单一，但正因为始终如一，使得画图法成为老师讲授和学生解题过程中必不可少的一个环节，利于学生对模型图画法的掌握。
　　2.表征数量关系的模型始终一致
　　對于一步计算应用题，新加坡教材呈现的是以下三种模型（如下图2到图4所示）。
　　两者相比，两幅图表征虽然没有一幅图简洁，且作图相对麻烦，但是对于刚开始学习两步计算应用题的低年级小学生来说，把两步计算应用题分解成两个一步计算应用题，再归到上面三种模型中，不管是读图还是作图都比一幅图容易一些。另外，画第二幅图需要第一幅图中的关键信息，而这一信息就是我们常说的“中间问题”，也就是说学生在画图的时候必须同时分析数量关系、寻找中间问题，这对于正确解答两步计算应用题是很有价值的。
　　3.采用循序渐进的呈现方式
　　新加坡教材循序渐进地向学生讲授矩形模型图，如下图7到图9所示，从积木实物图抽象到矩形图，从完整地呈现到需补充部分数量，从一幅图到两幅图，由形象到抽象，由简单到复杂，直至学生能熟练应用该模型解决问题。
　　三、对我们的教学启示
　　强调动手操作，强调学生理解数学知识的发生过程是近年来我国数学课程改革的重要理念。但在课程实施过程中尤其是在应用题教学中，如何体现一直是一线教师较为困惑的一点。新加坡“模型化”思想值得我们借鉴。
　　1.统一认识，图式表征应成为解决问题必不可少的过程之一
　　对于处在从形象思维过渡到抽象思维阶段的小学生来说，作为使抽象的数量关系可视化的模型图，在问题解决过程中有着非常重要的作用，它可以帮助学生深刻理解数学基本概念，帮助学生分析数量关系，提供解决问题的有效方法。模型图在我们的教材中曾一度被淡化，这几年又开始被重视，希望能进一步得到落实并逐步完善。
　　2.系统教学，构建模型图的学习序列
　　如上面所述，新加坡学生学习并掌握“模型图”并不是一蹴而就，而是有一个循序渐进的过程。我国教材中的线段图模型，不仅应用没有新加坡矩形模型广，而且缺乏系统的教学，使得学生感觉画图困难，从而并未发现图示表征的作用。因此有必要对图示法进行系统教学，构建科学的学习序列。结合我国传统，建议从低年级开始就系统地讲授线段图模型，不仅设置相应课时，而且要有目标、有步骤地实施教学，构建学生学习的序列。当然，为避免表征方式单一，在掌握线段图模型的基础上，高年级可以开始介绍其他表征方式，尤其抽象能力强的孩子可以根据不同的问题有不同的思考方式，无需每次借助直观表征。
　　3.关注过程，实现模型图的“模型化”
　　在比较中还发现，我们的“模型图”只是作为学生解题过程的一个辅助策略，最终的评价标准是学生是否给出准确的算术式，因此学生解题时往往只关注结果而忽略了解题的过程，久而久之部分学生即便碰到难题也想不到用画图等方法帮助解决。而新加坡教学非常注重过程，有些问题学生必须通过画矩形图来表征数量关系，学生在这一过程中借助图形思考，提高分析数量关系的能力，建议我们的教学借鉴。
　　参考文献：
　　[1]孟艾菊.中新小学数学教材中问题解决比较研究[J].资源纵览，2014（9）.
　　[2]张文宇.《新加坡小学数学教材的特色及启示》[J].数学教育学报，2011（8）.
　　[3]王兄.《新加坡小学数学课程实施的方法：CPA模型与‘模型图’》[J].外国中小学教育，2010（6）.
　　作者简介：欧景升，温州市籀园小学，单位地址：浙江省温州市鹿城区胜昔桥54号，邮政编码：325000。

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