数学模型与数学文化慢谈（下）

　　二战后，由于计算机等相关高科技的发展与进步，数学的发展在全世界的范围被越来越重视。而且数学被越来越看作技术，而不仅仅是一门学科而已。数学与关键部门（哪些关系到国计民生的重要部门，如国防、军事、航天、航空、石油、半导体、生存库存……）的关系日益密切，数学技术的发展直接影响着这些部门的发展与力量。建立数学模型并在数模的基础的计算成了中心的环节——即由数学技术转化为生产力的中心环节。数学模型正是一种将理论与应用相结合的典范，这非常有利于我们更好的认识数学，了解数学，发展数学。

　　不仅在一些大的生产、要害部门，数学的地位日隆，就是我们的日常生活中也不是数学技术的进步给我们带来的便利。比如IP电话的使用，其中的要害技术——数据的压缩与解读问题；
再如抽水马桶的设计——如何让其冲水音量小而又能冲得干净却是通过数学的计算与应用而实现的。尽管数学可以说是无处不在，但“什么是数学”或“数学是什么”的问题却一直没有个能被普遍认同的答案。美国或前苏联的一些极有影响的数学家在讨论或著书 说讨论“什么是数学”的问题时，一般的做法也只是把数学学科的各部门构成进行罗列，叙述一番，如算术、几何、方程、数论、微积与理论等等。而唯物主义者恩格斯则认为：数学就是研究空间形式与数量关系的学问，哈代（Hardy）则更倾向于认为数学只是一门艺术，与琴棋书画一般，跟外界事物没有多少联系。Hopper则认为数学就是替我们解决问题的好方法。真是各种各样，难衷一是。而关于这问题的讨论早就有了，就在二十世纪的大讨论中，围绕“数学是否真理”的问题展开大讨论，基本上形成了三个流派：

　　一是以罗素、怀特海为代表的逻辑主义学派，他们认为数学是逻辑的一部分，而逻辑是真理，数学自然就是真理。真理是具有包容性的。逻辑的真理除了反映客观世界规律的哪部分外，还包括通过推理演出来的“理性其理”。数学同样具有这样的特性。这样一种态度与观点在逻辑学界和数学界都同样具有很重要的影响力。

　　第二学派是以布劳维尔为代表的直觉主义学派。说学派认为数学的真理唯一来源便是人的直觉，看其是否可以接受，它既不取决于经验，也非来自理性，而是人的直觉。经验是有功用的，理性也是能起作用的，但那只起到使人的直觉觉醒的作用，闪念的迸发。帕斯卡也说：心有其理，非理之所能知。而推理是愚蠢的人因为没有通过直觉获得真理，只好通过推理去发现真理。他们的观点很大程度上受康德主义的影响。康德主义认为，外物永远是外物，只是人的认识与心智在变化，这种直觉主义主为人不可能获得真理，真理是不可能存在的。

　　第三个流派是以希尔伯特尔为代表的形式主义。这正是现代数学教学与研究的主流流派，影响极为深刻。这一学派认为数学的各体系各自独立，相容而且完备，尽力的发展每一部分便是数学之任务；
不用管客观世界的问题，数学就是数学，与外界无涉，另外还认为在一般数学之上还有一个总的之数学(Meta-mathematics )的存在。

　　这三大学派的观点很具代表性，可以说占主流的地位，但一直以来也同样受着众多的挑战与趋向，先看看逻辑主义学派，罗素本人在1937年《数学原理》再版时已经认为逻辑并非全是真理，所以数学也并非全是真理。在其晚年，罗素走得更远了，对数学非确定性的思考成了他思想的主题，尽管他的数理逻辑贡献功不可没。至于直觉主义，它否定“实无穷”，即所有的东西都是在一起的，实在的并且是完成的；
肯定潜无穷，即推理的、发展的、未完成的无穷，对于构造性数学，每一步都是有限的，从n, n+1, n+2, ……直至推进的无穷。对“选择公理”，罗素举了例子说：若有无穷双鞋子，那么命题“取出左脚”是可以成立的，但若是所有无穷双袜子就存在问题。直觉主义对袜子的编号解答也不满意，认为人不可以对潜在袜子进行编号。而形式主义，则一直交着各方面的理论压力，甚至挑战。哥德尔的两个定理基本葬送了希尔伯特关于真理独立完备等观念。即公理学说的相容性问题是无法证明的。爱因斯坦曾称誉哥德尔是“亚里士多德以来对逻辑做过最大贡献的人”。对逻辑的否定还得通过逻辑的形式，但不可以从逻辑上进行正误判断，因为绝对真理本就不存在。科莱茵《数学学科确立性的消失》是对形式主义的系统批判。

　　除了数学确立性问题外，数学还有个应用性问题。我们提倡数学的应用性，但并不排斥纯数学，追求精神高雅的同时引出有用的东西。起源于古希腊的数学四门包括算术、几何、天文、音乐，可算是综合的学科，而像欧几里德，阿基米德等大家都是综合性大家。现在数学里更有系统论、信息论、控制论等等。过分形式主义是历史形成的，但我们不能只重形式，更要关注内容。在数学创造领域，既要有真理取向，也要有美学取向，实用取向等。鉴别与选择有直觉的作用，但别忘记灵感是来源于积累。

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