三角函数线解题之妙用

　　摘 要：我们在解决三角函数的一些有关题目（如解不等式（组）、三角函数值的大小比较、求定义域以及不等式的证明等等）时，经常要用到数形结合的思想方法，即利用三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）与单位圆的完美结合，构造巧妙的数学模型，成为解决某些三角函数问题的有力工具。三角函数线与单位圆的充分结合，不仅能够从图形中刻画三角函数的性质，而且还能直观的展示出三角函数的值以及符号的正负，发现三角函数值的变化特点，所以二者的有效结合已经成为研究三角函数的一个重要工具，巧妙用之，能使某些复杂且难度较大的三角函数问题得以简化，轻松解决，达到事半功倍的效果。下面我就用几个典型的例子来说明三角函数线的巧妙之用，供读者参考。
　　关键词：三角函数；不等式；数学
　　一、用三角函数线解不等式
　　例1：解不等式[sinx≥32]。
　　解：如图，在（0，2π）内，利用正弦线作出正弦值为[32]的角的终边，可以发现，在（0，2π）内，正弦值为[32]的角为[π3]和[2π3]，所以不等式[sinx≥32]的解集为：[[π3]+2[kπ]，[2π3]+2[kπ]]（[k]∈[Z]）。
　　【点评】
　　在解决三角函数不等式时，可以先求出[0，2π）内的取值范围，在根据周期性写出R上所求的范围，同时还要注意端点值是否可以取得。
　　二、用三角函数线比较三角函数值的大小
　　例2：比较[sinx，cosx，tanx]的大小，其中[x]∈（[π4]，[π4]）。
　　解：如图，在[x]∈（[π4]，[π2]）时，角[x]的终边落在第一象限，所以[sinx，cosx，tanx]三者的符号均为正，在单位圆中分别作出角[x]的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，由图可知，OM　　【点评】
　　利用三角函数线与单位圆的完美结合，使得抽象复杂的问题变得直观，简单明了。
　　三、用三角函数线求函数的定义域
　　例3：求函数[f（x）=2sinx-1+lg （1-2cosx）]的定义域。
　　分析易知，[f][（x）]的定义域由两个限制条件共同决定，可转化为不等式组的问题来求
　　即求不等式组[2sinx-1≥01-2cosx>0]的解集。如图，在（0，2π）内，[2sinx-1≥01-2cosx>0]的解集为图中阴影部分所示，即[x∈（π3，5π6]]，再由周期性便可以得出[f][（x）]的定义域。
　　解：由[2sinx-1≥01-2cosx>0]得：
　　[sinx≥12cosx<12π6+2kπ≤x≤5π6+2kππ3+2kπ　　即[f（x）]的定义域为[[2kπ+π3，2kπ+5π6]]（[k]∈[Z]）。
　　【點评】
　　在求解三角函数不等式组的交集时，直接求解可能会陷入僵局，所以借助三角函数线的作用会化难为易，达到事半功倍的效果。
　　四、用三角函数线证明三角函数不等式
　　三角函数线不仅在解不等式（组）、比较大小、求定义域上体现出极大的优越性，而且在证明中也表现出它强大的功能和作用。
　　例4：求证：[sinα<α　　证明：如图，⊙O为单位圆，[α]的终边交⊙O于P，过P作PM⊥[x]轴于M，过[x]轴与单位圆的交点A作单位圆的切线AT，交[α]的终边于T，连接AP，有三角函数线的定义知，MP=[sinα]，AT=[tanα]，由图可知，因为α[?]（0，[π2]），所以[S?OAP　　而[S?OAT=12OA·AT=12tanα]，
　　[S扇形OAP=12α·R2=12α]，
　　[S?OAP=12OA·MP=12sinα]，
　　故[12sinα<12α<12tanα]，
　　所以[sinα<α　　【点评】
　　此题若不借助三角函数线的功能来解决，是很困难的，所以在单位圆中作出正弦线、正切线及[α]弧段，借助三角函数线的几何直观性，建立各图形面积不等式，便能容易地获得结论。

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