例谈“函数y=Asin（ωx+φ）图象变换与性质”内容易错点

　　三角函数具有特殊的函数图象与性质，函数[y=Asin（ωx+φ）]的图象变换主要有振幅变换、周期变换和相位变换。而对于周期变换和相位变换调整先后顺序后的平移量，学生往往不能正确掌握，亦不能根据函数图象确定三角函数的解析式，本文将用实例对这两方面易错点进行剖析。
　　1函数[y=Asin（ωx+φ）]的图象变换中的易错点分析
　　例1：要得到函数[y=2sin（2x+π4）]的图象，只需将[y=sinx]的图象经过怎样的变换？
　　1.1错解
　　[y=sinx横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y=sin2x向左平移π4个单位长度y=sin（2x+π4）纵坐标伸长为原来的2倍y=2sin（2x+π4）。]
　　1.2易错分析
　　1.2.1一些学生不能理解为什么“由[y=sinx]→[y]=sin[ωx]（[ω]>0）”的周期变换是将横坐标变为原来的[1ω]倍，而不是[ω]倍。正如此题中错认为将[y=sinx]的横坐标变为原来的2倍就是[y=sin2x]，比较两个函数图象，经过周期变换之后点（[π]，0），（[π]，0）变为了点（[π2]，0），点（[2π]，0）变为了（[π]，0），所以是横坐标变为了原来的[12]倍，纵坐标不变。
　　1.2.2很多学生没有理解相位变换的实质，因此容易出现此题中的错误“[y=sin2x向左平移π4个单位长度y=sin（2x+π4）]”，左右平移是相对于[x]来说的，而不是[ωx]，所以应该是向左平移[π8]个单位长度才得到[y=2sin2x+8=sin（2x+π4）]，通过五点作图法可以验证。若是先相位变换，即向左平移[π4]个单位长度得到[y=sin（x+π4）]，再周期变换，即横坐標变为原来的[12]倍得到[fx=sin（2x+π2）]。
　　1.3学习建议
　　周期变换和相位变换顺序不同时，平移量是不同的，但都是对于同一变量[x]而言的。
　　1.3.1先周期变换后相位变换：[y=sinx]的图象将横坐标变为原来的[1ω]倍即得[y=sinωx]，再向左（右）平移[φω]个单位长度得到[y=sin（ωx+φ）]。
　　1.3.2先相位变换后周期变换：[y=sinx]的图象向左（右）平移[φ]个单位长度得[y=sin（x+φ）]，再将横坐标变为原来的[1ω]倍即可得到[y=sin（ωx+φ）]的图象。
　　2根据图象确定三角函数解析式中的易错点
　　例2：函数[fx=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，-π<φ<π）]的部分图象如图所示，求其解析式。
　　2.1错解1
　　由图知，A=2，[T=2πω=7π8-π8=π]，所以[ω=2]，即[fx=2sin2x+φ]，又函数[fx]过点[3π8，0]，所以[2sin3π4+φ=0]，即[3π4+φ=kπ]，所以[φ=kπ-3π4k∈Z]，所以[φ=-3π4]或[φ=π4]，故[fx=2sin2x-3π4]或[fx=2sin2x+π4]。
　　2.2错解2
　　再求得A=2，[ω=2]之后，图象可以看作是[fx=2sin2x]向左平移[π8]个单位长度，所以所求解析式为[fx=2sin2x+π8]。
　　2.3易错分析
　　多数学生都能正确确定A、T、[ω]的值，但在确定[φ]的值时经常出现问题，没能分清代入的点是“五点”中的哪一个位置点，尤其是“零点”。正如本题中代入的点[3π8，0]是减区间上的零点，所以应该是[3π4+φ=2kπ+π]，从而只有[φ=π4]。另外一种利用平移变换时，是对于变量[x]而言的，而不是对于[2x]。
　　2.4学习建议
　　对于根据图象求三角函数解析式的问题，通常是根据图象的顶点来确定A的值，由周期来确定[ω]的值。关键是求[φ]的值，一定要分清代入的点对应“五点”中的哪一个位置点，若选择的是零点，则要注意是增区间还是减区间的零点，增区间的零点则有[ωx+φ=2kπ]，减区间的零点则有[ωx+φ=2kπ+π]。若已知最高点或最低点，则选择这些非零点代入求解便可以避免多解的情况。
　　通过以上问题的剖析可以发现，学生之所以出现这些错误的根本原因在于没有理解函数[fx=Asin（ωx+φ）]的图象变换的本质，没有掌握三角函数的基本性质。在教学过程中，教师可以借助几何画板来动态演示三角函数图象的变换过程，让学生可以形象的感受不同的变换顺序所需要的平移量的变化。通过“五点作图法”体会图象不同变换的本质，同时加强概念、性质的教学，让学生理解不管是周期变换还是相位变换都是对于一个变量[x]而言的，进而使学生能够有更清晰的解题思路。
　　参考文献
　　[1]田麟.三角函数的特性及应用[J].湖南城市学院学报，2016（1）.
　　[2]普通高中课程标准实验教科书必修4A版[M].北京：人民教育出版社，2004.
　　作者简介
　　吴小丽（1994.01—），女，汉族，籍贯：四川成都，学科教学（数学），单位：西华师范大学；邮编：637000。

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