角的历史

角的历史篇一：数学史中的一角

数学史中的一角

——那些在数学史上留下汗水的人

摘要：数学史是研究数学发学科生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。数学的发展决不是一帆风顺的，数学史是数学家们克服困难和战胜危机的斗争的记录，是蕴涵了丰富的数学思想的历史。欧拉公式和《九章算术注》的创立，《几何原本》的出版等等无一不是经历了曲折艰难最终探索出来的。这样的例子在数学史上不胜枚举。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获，国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究，并善于从历史素材中汲取养分，做到古为今用，推陈出新。

关键字：数学家 欧拉公式九章算术博弈论与经济行为几何原本

欧拉 欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。[1]他一生大部分时间在 俄罗斯帝国和普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷。欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果。在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。欧拉的一生很虔诚。然而，那个广泛流传的传说却不是真的。传说中说到，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里，挑战德尼·狄德罗：“先生，因为(a+b^n)/n = x；所以上帝存在，请回答！”欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了。 欧拉曾任彼得堡科学院教授，柏林科学院的创始人之一。他是刚体力

学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人。他认为质点动力学微分方程可以应用于液体（1750）。他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和根据确定的流体质点（1759）描述流体速度场。 欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样。”(阿拉戈说)，这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张，他是历史上最多产的数学家。与他同时代的人们称他为“分析的化身”。欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易。甚至在他生命最后7年间的完全失明也未能阻止他的无比多产，如果说视力的丧失有什么影响的话，那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力。欧拉到底出了多少著作，直至1936年人们也没有确切的了解。但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60至80卷。彼得堡学院为了整理他的著作整整花了47年。1909年瑞士自然科学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文。这项工作是在全世界许多个人和数学团体的资助之下进行的。这也恰恰显示出，欧拉属于整个文明世界，而不仅仅屈于瑞士。为这项工作仔细编制的预算(1909年的钱币约合80000美元)却又由于在圣彼得堡(列宁格勒)意外地发现大量欧拉手稿而被完全打破了。拉的数学生涯开始于牛顿(Newton)去世的那一年。对于欧拉这样一个天才人物，不可能选择到一个更有利的时代了。解析几何(1637年问世)已经应用了90年，微积分大约50年，牛顿(Newton)万有引力定律这把物理天文学的钥匙，摆到数学界人们面前已40年。在这每一个领域之中，都已解决了大量孤立的问题，同时在各处做了进行统一的明显尝试。但是还没有像后来做的那样，对整个数学，纯粹数学和应用数学，进行任何有系统的研究。特别是笛卡儿(Descrates)、牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)强有力的分析方法还没有像后来那样被充分运用，尤其在力学和几何学中更是如此。那时代数学和三角学已在一个较低的水平上系统化并扩展了。特别是后者已经基本完善。在费马(Fermat)的丢番图分析和一般整数性质的领域里则不可能有任何这样的"暂时的完善"(甚至到现在也还没有)。但就在这方面，欧拉也证明了他确是个大师。事实上，欧拉多方面才华的最显著特点之一，就是在数学的两大分支－－连续的和离散的数学中都具有同等的能力。作为一个算法学家，欧拉从没有被任何人超越过。也许除了雅可比之外，也没有任何人接近过他的水平。算法学家是为解决各种专门问题设计算法的数学家。举个很简单的例子，我们可以假定(或证明)任何正实数都有实数平方根。但怎样才能算出这个根呢？已知的方法有很多，算法学家则要设计出切实可行的具体步骤来。再比如，在丢番图分析中，还有积分学里，当一个或多个变量被其他变量的函数进行巧妙的(常常是简单的)变换之前，问题往往不可能解决。算法学家就是自然地发现这种窍门的数学家。他们没有任何同一的程序可循，算法学家就像随口会作打油诗的人－－是天生的，而不是造就的。目前时尚轻视"小小算法学家"。然而，当一个真正伟大的算法学家像印度的罗摩奴阇一样不知从什么地方意外来临的时候，就是有经验的分析学者也会欢呼他是来自天国的恩赐：他那简直神奇的对表面无关公式的洞察力，会揭示出隐藏着的由一个领域导向另一个领域的线索。从而使分析学者得到为他们提供的弄清这些线索的新题目。算法学家是"公式主义者"，他们为了公式本身的缘故而喜欢美观的形式。努利父子说他的儿子注定将成为大数学家而不是里兴的牧师之后，才终于让了步。伯努利父子的预言实现了，但欧拉早年受到的宗教训练影响了他的整个一生。他从未丢弃过一点加尔文派教徒的信仰。欧拉公式欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、

指数函数与三角函数联系起来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。 欧拉函数欧拉函数，在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 欧拉定理在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马

-欧拉定理或欧拉函数定理）

是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。 欧拉角用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。 欧拉方程1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：（ax^2D^2+bxD+c）y=f(x),其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D^2y的系数是二次函数ax^2，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。 欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，

即三角形的重心、垂心和外心共线。

二、刘徽

刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平县人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学 理论的奠基者之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟。

刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家，他在公元263年撰写的著作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产，从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。刘徽的数学著作，留传后世的很少，所留均为久经辗转传抄之作。 他的主要著作有：《九章算术注》10卷； 《重差》1卷，至唐代易名为《海岛算经》；《九章重差图》l卷。可惜后两种都在宋代失传。 《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解

联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。但因解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在众多方面的创造性贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416的结果． 他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形??，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值．刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年来中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等．刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提．他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上．虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系．刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作．《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．刘徽思想敏捷，方法灵活，既 提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学

而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富

一是整理中国古代数学体系并奠定了它的

数系理论方面

①用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术 的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。 ②在筹式演算理论方面， 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。③在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。

面积与体积理论方面

用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。 ①割圆术与圆周率， 他在《九章算术?圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。②刘徽原理 在《九章算术?阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。 “牟合方盖”说在《九章算术 开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。方程新术 在《九章算术 方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。 重差术 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和 累矩等测高测远方法。

三、欧几里得

亚历山大里亚的欧几里得（希腊文：Ευκλειδη? ，约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品，是几何学的奠基人。

欧几里得(Euclid)是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典，当时雅 典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。 一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的“柏拉图学园”。只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂几何者，不得入内! ”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么?正在人们面面相觑，不知是退、是进的时候，欧几里得从人群中走了出来，只见他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。在学园里，师生之间的教学完全通过对话的形式进行，因此要求学生具有高度的抽象思维能力。数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的实物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。

柏拉图甚至声称：“上帝就是几何学家。”遂一观点不仅成为学园的主导思想，

角的历史篇二：1962年人民币1角历史价值

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1962年人民币1角历史价值

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角的历史篇三：从历史的角度学文化,从文化的角度学历史

从历史的角度学文化，从文化的角度学历史 《中学历史教学参考》(西安)2007年5期第34～35页

梅金娣，广东省广州市第三中学，510170

在进行高中历史必修三的教学时，大多教师都会遇到两大困惑：一是包括思想、科技、文学、美术、音乐、影视等内容的文化史内容，在历史课中怎么教？二是对曾经在必修一(政治史)和必修二(经济史)中出现过的文化史内容又该如何处理？笔者根据中学历史学科的特点和中学历史教育教学的要求，在实践中探索，在探索中前行，认为可以基于以下两个方面来解决上述两大困惑，一是从历史的角度学文化，二是从文化的角度学历史。

从历史的角度学文化

什么是历史的角度？所谓历史的角度，就是要把文化史中的思想、科技、文学、美术、音乐、影视等内容放到特定的历史时代、社会环境中去考察，探讨其产生和发展的历史背景及其对整个人类历史进程的影响。笔者曾多次听过历史必修三中有关文学艺术内容的公开课，发觉许多老师都把体现文学艺术内容的历史课上成了文学艺术欣赏课。这并不是不可取，因为欣赏课既是一种历史美育课，也可以说是对学生进行了情感、态度价值观的培养。但我总觉得这有点脱离了历史学科的特点，没有从历史的角度进行情感教育。

那么，怎样从历史的角度进行文化史的教学？笔者进行了尝试，下面就结合必修三的具体教学内容谈谈自己的一些思考和实践。

1. 有关思想史的教学：必修三的专题一《中国传统文化主流思想的演变》、专题三《近代中国的思想解放潮流》、专题四《20世纪以来中国重大思想理论成果》和专题六《西方人文精神的起源及其发展》是中西方有关思想的产生和发展的内容。在进行这些有关思想内容的教学时，我主要围绕两大主题进行教学设计、内容选择：一是思想的产生及演变与其特定历史时期的时代背景的关系，二是产生或者演变的思想对历史进程、社会发展的影响。

2. 有关文学史的教学：必修三的专题二《古代中国的科学技术与文化》和专题八《19世纪以来的世界文学艺术》分别涉及中国古代文学和世界近现代文学的内容，我在讲授这些内容时，侧重点是和学生一起探究两大问题：第一，不同时期文学的主流形式及其特点是什么？列举其典型代表。第二，如何揭示一定社会的文学与政治、经济之间的内在联系？

3. 有关科技史的教学：中学历史教学中的科技史，不能仅仅讲其科技成就，更不能把科技史的内容作为单纯的物理知识、生物知识和信息技术知识等来讲授，而应着重和学生探究科技成就产生的原因、条件和科技对人类社会发展的影响。如在进行《近代以来世界科学技术的历史足迹》这一专题的教学时，我着重和学生探讨了中世纪农业、手工业和近代资本主义经济萌芽与资本主义经济迅速发展，说明这些为近代科学的产生和发展提供了物质条件；同时，联系文艺复兴与宗教改革，指出这两者是对教会权威的挑战，是对人性主义的呼唤，为近代科学思想的诞生作了思想准备；还有18世纪欧洲开始的启蒙运动对理性自由信念的确立和自由理性的张扬，大大促进了近代科学思想的发展。那么，近代科技的发展对人类历史进程有什么影响呢？牛顿经典力学的确立标志着近代科学的建立，它的诞生彻底打破了教会对自然领域的控制，促进了近代资本主义的发展。达尔文的进化论的影响不仅仅是生物领域的，更深刻的影响在于对人类思想认识的方面，它把神从人类生命的领域中驱逐了出去。在科学技术的发展史上，从历史的角度，我们还应关注“科学精神”与“人文精神”的关系，为此，我给学生设计了以下探究问题：

对于“人文精神”与“科学精神”的关系，人们多用“车之两轮、鸟之两翼”来说明，认为二者相辅相成，缺一不可。

(1)从历史发展的过程看，这种说法是否符合实际？

(2)你认为在现代社会发展中，“人文精神”与“科学精神”是一种怎样的关系？ 关于必修三中美术、音乐和影视内容的教学，我认为也应该着重从历史的角度进行教学设计、安排活动、讨论问题。

从文化的角度学历史

在文化史的模块中，有很多内容是在政治史和经济史中出现过的，如下表(以人教版为例)：

由于新课程倡导专题教学，专题下所选的内容都是为专题服务的，既然如此，在文化史专题中出现的内容，就应从文化的角度对其进行探究和学习。那么，这些重复的内容在文化史专题中应该如何处理呢？与从政治、经济的角度学历史相比较，从文化的角度学历史有什么突出的地方？这需要我们一线教师在具体的教学实践中探索与积累，下面两个事例是笔者尝试的结果。

如“毛泽东思想”这一内容在政治史中的《新民主主义革命的崛起》《新民主主义革命的胜利》中出现过，在进行政治史内容的教学时，重点探讨新民主主义时期共产党人对革命道路的选择以及选择后的革命实践和结果。当然，毛泽东思想就是在这一选择和实践过程中形成并反过来指导这一过程的，但侧重点是前者。而在文化史的教学中，《毛泽东思想》一课的关注点在于这种思想产生的历史背景以及它对实践的指导意义乃至对整个历史进程产生的深远影响。围绕这一关注点，我设计了以下四个问题，并围绕这四个问题展开教学：

1. 毛泽东与毛泽东思想：为什么这样的背景下能出现这样的一个人和这样的一种思想？

2. 所有思想的形成都有一个过程。毛泽东思想是怎样形成的？从它的形成过程看，毛泽东思想的精髓是什么？

3. 这种思想怎样指导了当时的革命实践？取得了怎样的成就？

4. 为什么说毛泽东思想是20世纪中国一项重大的理论成果？

又如，《蒸汽和电的革命》一课与经济史中的《工业革命》在内容上是一致的。在进行经济史模块中的《工业革命》的教学时，我们主要探讨这两次工业革命在经济领域对生产力的提升，对世界经济结构变化、对资本主义社会结构变化的影响；而在文化史的教学中，《蒸汽和电的革命》则突出以下两点：第一，从科学的(转载于:wwW.zHaoQt.NEt 蒲 公 英 文 摘:角的历史)角度探讨这两次工业革命解决了什么科学难题？第二，从人类文明演进的角度探讨它对经济、政治、文化思想、社会生活等方面产生的巨大影响。围绕以上两点，我设计了以下两个问题、并围绕这两个问题展开教学：

1. 蒸汽和电的革命是革谁的命？这两次革命分别创造了哪两个时代？

2. 蒸汽机的发明和电的广泛使用，在哪些方面推动了社会变革？

以上是笔者在文化史教学过程中的探索与总结，是基于从历史的角度学文化和从文化的角度学历史的一些思考和实践。毫无疑问，文化史所包含的内容丰富多彩，结合具体内容而进行有效教学的方式方法也应是多样化的，切入的角度也应是多元化的，这都有待于我和我的同行继续努力，不断探索。^

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