积分历史

积分历史篇一：微积分的历史

微积分的历史

赵子番 PB07210204

我们学习了一年的微积分学了，对整个微积分的框架已经了一定的掌握，首先学习函数的极限，进而学习了单变量与多变量函数的微分学与积分学，场论，级数，傅立叶分析，最后学习了解微分方程。当我们再回首时，感觉自己学到了很多东西，很有一种成就感。可是细细想来，总觉得缺点什么。猛然发现，我们对数学或者说微积分史了解得太少了，书上的大部分定理、公式均冠以创立者之名，但均不加以注释，以至于我们不知其为何许人也。

所以笔者认为，只有对微积分发展历史有所了解，才会对这个学科有更深入更全面的认识。知道千百年来先辈们是怎样经过艰苦卓绝的奋才取得的今天的成果，必然会对他们肃然起敬。

经各种途径的搜集整理，现向同学们介绍几位在微积分史上有过丰功伟绩的几位数学大家。

首先介绍一下笛卡尔。恩格斯曾这样评价过笛卡尔：数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了数学，微分和积分也就立刻成为必要的了。可以这样说，笛卡尔是微积分学的开山鼻祖。

笛卡尔是法国数学家、哲学家、物理学家、生理学家。1596年3月31日生于图伦省埃拉；1650年2月11日卒于瑞典斯德哥尔摩。笛卡尔自幼养成了宁静好思的习惯，他对周围的世界充满了好奇心。笛卡尔对数学的最大贡献是创立了解析几何学。他认为数学比其他科

学更符合理性的要求。他是以下列三种身份的结合来研究数学的。作为哲学家、作为自然界的探索者，作为一个关心科学用途的人。它的基本思想是建立起一种普遍的数学，使算数、代数、几何统一起来。他曾经说过：“我决心放弃那种仅仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思维的问题。我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于揭示自然现象的几何。”笛卡尔在几何学所阐发的思想，被MILL称作“精密科学进步中最伟大的一步”。

笛卡尔的理论以两个观念为基础：坐标观念和利用坐标方法把带有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。笛卡尔的功绩是把数学中的两个研究对象“形”与“数”统一起来，并在数学中引入变量，完成了数学史上一项划时代的变革。正是基于此，也就有了恩格斯上述对笛卡尔的评价。

应当指出，笛卡尔的坐标系是不完备的，他未曾引入第二条坐标轴，即y轴。另外，笛卡尔也没考虑横坐标的负值。当然，我们不能苛求过多，任何事物都是在不断发展中逐步完善的。

笛卡尔孜孜不倦，勤于思考，他不喜欢读带有详细解释的科学论著。他读书的方法是把书拿来后，先弄清作者的主要意图，他只读完开头部分，而那些应由作者得出的结论，他总是力求自己得出。

不仅仅在自然科学上笛卡尔取得的成就令我们钦佩，在感情上笛卡尔做到了禁欲，终身未娶。

笛卡尔有句名言：天下之理，非见之极明，勿遽下断言。他还强调：没有正确的方法，即使有眼睛的博学者也会向瞎子一样盲目探索。

笛卡尔之后，又出现了一批伟大的数学家，比如费马，托里拆利、帕斯卡、惠更斯，还有对微积分学做出巨大贡献的牛顿、莱布尼茨。牛顿-莱布尼茨公式?b

a由于对这两f(x)dx?F(x)|a贯穿了整个微积分学。b

人大家耳熟能详，故不作过多介绍。

牛顿、莱布尼茨之后，历史迎来了伟大的泰勒。克莱因曾评价泰勒说：“泰勒实际上是用无穷小量进行运算，同莱布尼茨一样认为其中没有什么问题。”这实际上是在评价泰勒的伟大贡献之一—泰勒级数。 泰勒1685年生于英国埃德蒙顿；1731年12月29日卒于伦敦。泰勒幼年之青年一段时间的求学这路很平坦顺利。泰勒和牛顿、哈雷都是亲密的朋友，也是牛顿流数法的一位拥护者和推广者。

泰勒1715年出版了《增量法及其逆》，在本书中“他力图搞清微积分的思想，但他把自己局限于代数函数和代数微分方程。”但他没有意识到，在处理无穷级数时，必须先考虑他的收敛性。开始，泰勒级数的重要性并未引起人们的注意，直到1755年欧拉把泰勒级数用于他的微分学时才认识到其价值；稍后拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确定泰勒级数的重要地位。1880年，维尔斯特拉斯又把泰勒级数引进为一个基本概念，用现代术语来讲，泰勒级数是解析函数芽。

泰勒对科学的贡献本质上要比那个以他的姓氏命名的级数大得多。他在《皇家社会报》上发表过关于物理学、动力学、流体动力学、磁学和热学方面的论文。他还是一位多才多艺，富有才华的音乐家和画家。

但成年之后的泰勒人生病不如意，一声深受疾病即悲剧事件的困扰。第一个妻子因出身贫寒而遭到具有门阀观念的父亲的冷遇，导致父子之间激烈的争吵与不合，妻子不久死于分娩。第二个妻子后来亦死于分娩。爱妻的不幸逝世、父子的不和、疾病的折磨使他痛苦不堪。到了晚年，为了解脱，便把精力与爱好转向了宗教与神学。

在这种困难异常的情况下，泰勒仍然取得如此巨大的成就，实在令我们这些花前月下的大学生们感到惭愧。

泰勒之后，又出现了斯特林、迈克劳林、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西等一大批对数学产生过深远影响的数学家。可以说，是他们，推动了整个世界、整个人类的发展与进步。

其实我们很有必要去了解一下微积分的历史，庞加莱曾说：如果我们想要预见数学的未来，适当的途径是研究这门科学的历史和现在。的确，只有了解了微积分的历史，了解了那些伟大数学家们的钻研精神，我们才能够以一种更为阔达的心态去学习微积分，去学好微积分。

积分历史篇二：微积分的历史

微积分的历史

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题，一个是求积问题。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。

直到１９世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。

积分历史篇三：微积分产生的历史背景

微积分产生的历史背景

数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成(来自:WWw.zHaoqT.net 蒲公 英文 摘:积分历史)为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是有牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。

恩格斯

从15世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成了一个新的经济时代，宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层面前呈现出一个完全斩新的面貌。而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动的数学的发展。科学对数学提出的种种要求，最后汇总成车个核心问题：

（1） 运动中速度与距离的互求问题（几何演示）

即，已知物体移动的距离S表为时间的函数的公式S=S（t）,求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是0，而0/0是无意义的。但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。

（2） 求曲线的切线问题（几何演示）

这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光学是时十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。

（3） 求长度、面积、体积、与重心问题等（几何演示）

这些问题包括，求曲线的长度（如行星在已知时期移动的距离），曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心，一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。实际上，关于计算椭圆的长度的问题，就难住数学家们，以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了，直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题，早古希腊时期人们就

用穷竭法求出了一些面积和体积，如求抛物线y?x2在区间[0，1]上与x轴和直线x=1所围成的面积S，他们就采用了穷竭法。当n越来截越小时，右端的结果就越来越接近所求的面积的精确值。但是，应用穷竭法，必须添上许多技艺，并且缺乏一般性，常常得不到数字解。当Archimedes的工作在欧洲闻名时，求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。穷竭法先是逐渐地被修改，后来由于微积分的创立而根本地修改了。

（4） 求最大值和最小值问题（几何演示）

炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾斜角，即发射角。一个“实际”的问题是求能获得最大射程的发射角。十七世纪初期，Galileo断定（在真空中）最大射程在发射角是45?时达到；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题，例如求行星离开太阳的最远和最近距离。

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