做有问题实验，促思维力提升

　做有问题实验，促思维力提升

　摘要：问题是数学的心脏，数学是思维的体操，问题与思维相伴相生，相互交融。有品质促思考的数学实验，要摒弃缺乏思考空间、缺乏参与动力、缺乏逻辑递进的实验问题设计，在悬而未知处、在新旧衔接处、在特殊至一般处、在认知冲突处、在逻辑递进处巧设实验问题，促进思维能力提升，更好彰显学科育人价值。

　关键词：数学实验

　问题设计

　思维提升

　数学实验是为促进理性思维，验证数学猜想，归纳数学规律，解决数学问题，通过一定的方法，借助一定的设备，运用一定的手段，在思维活动的参与下和典型的实验环境中进行的一种数学建构过程和数学探索活动[1] 。随着课程改革的深入，数学实验正以活跃的态势融入常态数学课堂，为小学数学教学注入新的活力。然而观察一些的数学实验课堂，我们发现驱动学生开展数学实验的问题表征，或是缺乏实验研究空间，或是缺乏实验展开动机，或是缺乏实验逻辑设计，不利于学生数学思维的提升，削弱了数学实验的价值意蕴。为此我们就数学实验教学中如何做有问题实验，以更好提升思维能力，展开了一定的理性思考与实践探索。

　第一，内涵研读：问题＆思维 我国教育先哲孔子很早就提出学起于思，思源于疑 ；古希腊哲学家亚里士多德认为思维从疑问和惊奇开始 ；美国当代教育家哈尔莫斯更是指出问题是数学的心脏 。显见问题与思维是相伴相生、互生共长的。在数学学科的教学中问题与思维的水乳交融关系更为深透。为此我们需要明晰一些概念。

　1. 关于问题

　问题：是指在给定的信息和目标状态之间有某些障碍需要克服的情境。它包含了这样的三个成分：（1）给定。一组关于问题条件的描述，即问题的起始状态。（2）目标。关于构成问题结论的描述，即问题要求的答案或目标状态。（3）障碍。正确的解决方法不是直接的显而易见的，必须通过一定的认知操作才能改变给定状态，逐渐达到目标状态[2] 。

　问题解决。是指把问题的给定状态装换成目标表状态的过程。从教育心理学的角度来理解就是指问题解决者通过思维重新组织已知的概念和规则，进而形成新的答案的过程，其中新的答案所形成的规则不是简单规则的应用，而是形成新的规则的过程。

　问题教学。是指在教学中把学生置于问题情境之中，引导学生围绕问题展开思维，利

　用和重新组织已有的概念和规则，形成相应的高级规则，最终达到解决问题的教学方式。

　2. 关于思维

　思维：最初是人脑借助于语言对客观事物的概括和间接的反应过程。思维以感知为基础又超越感知的界限。通常意义上的思维，涉及所有的认知或智力活动。它探索与发现事物的内部本质联系和规律性，是认识过程的高级阶段。思维还具有深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性五大品质。

　数学思想方法：它是隐性的，对数学对象本质的认识，是对数学知识的进一步提炼、概括而形成的。有些学者认为常见数学思想方法有函数、分类、化归、数形结合、极限、统计等方面，也有学者概括为抽象、推理、模型三大内容。

　思维教学：美国教育家杜威评论德国的赫尔巴特学派的启发教学法是以思维附属于获得知识的过程，而他倡导的问题教学法则是以获得知识附属于发展思维的过程。他认为思维的自然规律不是形式逻辑，而是所谓“实验逻辑”的反省的思维。它是对问题反复地、持续地进行探究的过程。反省思维是由疑难的或不确定的情境到确定的情境两端之间的全过程。这个观念显示教育大家境界，值得广泛认同。

　3. 关于数学实验之问题与思维

　数学实验研究的问题，在问题的给定状态与目标状态之间同样需要克服一定的障碍，问题的答案不是显而易见的，要有一定的思考探索空间。此外，因数学实验教学与其它数学教学不一样的地方，还需要创设驱动学生“动手做”去解决问题的欲望与特定条件。就是要让学生在“做数学”的过程中充分地以自己的五官去感知去探究，以自己的脑袋去思考去分析，以自己的语言去描述去表达。正如东北师范大学校长史宁中教授谈到的，数学教学要力求从现实生活情境引入，培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。这里数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。在数学实验教学的课堂上，问题与思维相生相伴、相互促进的关系更是不言而喻。

　第二，现象透视：实验问题设计的误区

　 数学实验教学不仅丰富了学生的学习方式，让数学不再以数学家们常用的“演绎”方式推进，而以儿童乐于接受富于创造性的“实验归纳”的方式推进，让数学由“严肃可怕”变得“有趣可爱”。但反观一些日常实验教学的课堂，我们不难发现一些只是“形似”而非“神似”的问题。其核心突出表征，就是实验教学的问题设计。

　1. 问题空间狭窄，缺乏实验思考空间

　数学实验要有鲜明的实验目标，目标往往以问题驱动，而问题应该具有在给定状态与

　目标状态之间的障碍设置。反观一些数学实验的课堂，我们发现问题的设计缺乏这样具有思考空间的障碍设计。比如三年级上册“倍的认识”一课，有老师以问题“第一排摆 2 根小棒，第二排摆 3 个 2 根，想一想：第二排小棒的根数是第一排的多少倍？”作为实验活动的引领。我们可以发现这个问题“第二排摆 3 个 2 根”已经没有需要思维克服的障碍，也就没有了实验探究的空间，纯粹是巩固倍概念的数学动手操作活动。如果改为“第一排摆 2 根小棒，第二排摆 6 根小棒，想一想怎样摆可以一眼看出第二排小棒的根数是第一排的多少倍？”也就有了实验问题设计的思维价值。

　2. 问题答案即视，缺乏实验参与动力

　 数学实验教学，不是为实验而实验，同样需要以问题激发学生的探究欲望参与动机。因此，问题的呈现需要有悬疑，有激发学生参与的强烈的实验研究需求。但是我们发现有些实验忽视了这个需求。比如四年级上册的“可能性”一课，教师呈现问题“袋子中 4 个球，三白一黄，摸到哪种球的可能性大？”在学生异口同声认为白球的可能性大之后，便让学生进行实验验证这个猜想。这样答案即视的实验问题，没有思维的挑战性，使得学生也没有了探究未知问题的冲动与激情，整个实验活动便成为了学生懒懒散散的走过场的过程。如果我们将问题改为“袋子中有红、白两种球共 4 个,到底有几个红球、几个白球呢？你有什么好办法呢？可不能打开袋子哦！”悬而未知的答案、欲根据实验数据预测的前在想法等等，是否会让这个数学实验活动呈现另一番场景，更突出实验的需求与价值意义呢？ 3. 问题要求粗放，缺乏实验逻辑设计

　有时与上面两者相反，也有一些数学实验问题的设计没有基于学生已有认知基础与经验水平，过于粗放简单，使得学生无从入手研究。比如五年级下册“圆的面积” 一课，教师直接出示大问题“能像平面上的直线图形一样，把圆转化成已经学过面积公式的图形来推导面积计算方法吗？”看似要让学生跳一跳摘果子，实际上学生即使由方法迁移，想到可以转化成已经学过面积计算公式的平面图形来推导，但让他们落实于实验操作还是有一定的困难的。毕竟“化曲为直”第一次出现，于学生思维而言已经有了质的提升。如果改成这样两个实验问题：“1.你能否也像以前一样用数格子方法数出圆的面积，看看与什么有关？”(右图)在学生通过第一次实验数据的观察归纳得出“圆的面积是半径平方的 3 倍多一些（π倍）”后，引出实验问题“2.圆的面积是半径平方的 3 倍多一些（π倍），这个猜想是否正确呢？它与拼成图形（近似的长方形）之间有什么样的关系？”(左图)让学生进一步亲历“提出猜想—

　—转化验证——得出结论”的过程。这样两层问题设计，让数学实验活动更符合学生认知规律，能体现实验问题与活动展开的逻辑递进性。

　第三，实践探索：实验问题设计的策略

　 既然数学实验具有鲜明的任务驱动性即目标性，那么显然就要有问题激发的强烈探究欲。透视上述数学实验问题设计的误区，观照数学实验课堂丰富的实践探索与教师们的头脑风暴，我们初步形成这样几个实验问题设计的策略。

　1. 基于现状，引发悬而未知状的问题

　有一些数学实验，没有或很难找到学生生活或数学经验的积累，只是延展或丰富单元学习知识的运用外延，体会数学知识的实际价值意义。比如四年级上册第四单元“统计表与条形统计图（一）”编排了“动手做——硬币上的滴水实验”（如图），显然是本单元统计知识的在数学实验中的延伸体验。学生对于一滴水有多大体积、水的表面张力等知识确实没有多少的积累，那么正视现实，就是基于现状，以悬而未知的问题引发数学实验的内驱力。也正因为悬而未知，才可以让这样两个实验问题的设计“实验一：1 元硬币上最多能滴多少滴水？”“实验二：5 角、1 角硬币上最多能滴多少滴水？”丰盈学生数学实验的过程，更好体验统计量的价值。

　2. 基于经验，催生新旧衔接性的问题

　数学知识、规律等的学习，大多是建立在原有知识经验基础上的。正如建构主义认为的，学生不是空着脑袋进教室的。运用新旧知识的生长点、衔接点设计数学实验的问题，也是很好的切入口。比如五年级上册“梯形面积的计算”一课，由问题设计：你能把梯形转化成已经学过面积公式的哪种图形？它们之间有着怎样的关系？你能根据关系试着推导梯形的面积计算公式吗？引发数学实验的需求，同时合理灵活迁移最临近经验，即“三角形面积的计算”实验研究与推导发现的结构，也就能在问题的驱动下独立而直接进入“图形转化——关系联接——公式推导”图形面积研究的三步曲。结构性的问题驱动是更上位的思维要求，体现教结构用结构的长程规划思路，能更好地实现知识结构与方法结构迁移的课程立意。

　3. 基于规律，展开特殊到一般的问题

　数学教学中，很多“探索规律”类的学习内容，都编排着从特殊到一般的认知结构，也是可以开发为数学实验教学的内容，让学生在动手做、图 1

　动脑思的过程中亲历数学归纳与合情推理的过程。我们不妨来看一看我们六年级上册探索规律之“表面涂色的正方体” ，这是一个比较典型的数学实验，学生不仅能通过动手实践、动脑思考发现蕴藏其中的规律，还能感受数学实验的无穷乐趣。教学中按这样的问题与实验活动的流程展开数学实验：

　实验一，切割观察，研究感知问题。教师引导学生用身边的土豆或萝卜切成正方体并涂上颜色，然后将棱二等分切开（图 1），观察思考“能切出多少个同样大的小正方体？每个小正方体有几面涂色?”问题引领的这个小实验是为后续系列化的实验研究做观察感知的基础性准备工作。

　实验二，把玩魔方，研究分类问题。为深入推进实验，引发顺延问题“如果是将棱长三等分，能切出多少个同样大的小正方体？每个小正方体除了三面涂色的情况，会不会出现别的可能？它们又会出现在什么位置？各种涂色可能情况的数量分别是多少？”并引导学生：可以利用身边的三阶魔方（图 2）进行观察想象，或动手拨一拨（图 3）验证你的想象。” 很显然，学生通过魔方的观察与拨动，可以初步发现：可能出现三面涂色、两面涂色、一面涂色等几种分类的情况。并发现三面涂色、两面涂色、一面涂色等几种情况与小正方体与顶点、棱、面的位置有关。而关于各色数量的问题还存在困惑，也正是后续实验要持续研究的问题。

　实验三，基于特例，探索规律问题。当同学们发现有三面涂色、两面涂色、一面涂色等几种情况以及它们的位置特点后，就自然生发实验问题“三面涂色、两面涂色、一面涂色等几种情况的小正方体分别有多少个？每种情况小正方体的个数与正方体的顶点、棱、面的数量之间一定有着内在联系？”学生通过自己进一步把玩魔方以及其它更多等分的学具，带着自己的猜想与研究问题，进入实验研究环节。本着复杂问题从简单想起的学习策略，学生可以自主进行实验设计，先研究棱长三等分的，再研究棱长四等分的，再推理想象棱长更多等分的。并设计实验记录单（表 1），分组进行实验。

　最后交流分享积累的特例数据，引发合情推理，发现一般性的数学规律（表 2）。

　图 2 图 3

　这样从特殊到一般的问题研究，是数学实验之于探索规律最常用的方法策略，具有明显的结构化特点，能内化为一般性规律研究的问题思考线索与方法策略。

　4. 基于比较，创设认知冲突性的问题

　当学生原有知识在解决新问题遇到障碍时，往往以形成认知冲突方式引发学生的探究欲望，数学实验更需如此，方能更好激活学生思维，激发学生投入挑战性的实验研究活动之中，实验的过程就是问题伴随思绪飞扬的过程。

　如四年级下册“三角形的三边关系”一课，数学实验的味道很浓。其表征之一就是围绕“问题 1：任意长度的三条线段都可以围成三角形吗？”这一实验（图 4）引发学生强烈的认知冲突，继而学生自主生成了新的实验研究问题“为什么有的能围成？有的不能围成？”由此进入富有思维含量与挑战性的第二层数学实验活动（图 5）。问题引领目标聚焦，学生思维由此深入深刻，更趋向批判性、创造性的品质提升。

　 表 1 表 2 图 4

　图 5

　5. 基于结构，推进逻辑递进性的问题 数学知识或规律的产生与发展过程有其内在的逻辑线索，所以适宜以数学实验方式展开教学的内容，其问题设计的推进逻辑必须体现这样的线索，同时也要符合学生的认知规律。在一些实验内容的开发中我们尤为重视体现这种需求。

　比如六年级下册“动手做” （图 6）中数字天平的制作与规律研究，我们将其开发为数学实验课“平衡中的奥秘”。为激活经验链接知识的前沿后续，使学生的探索过程更具逻辑性，我们以常见的托盘天平引入，并以逻辑递进的三个问题，串起三个数学实验活动。首先基于托盘天平生成“问题 1：左右两边质量相等，天平一定平衡吗？ ”基于数字天平实验活动一的发现生成“问题 2：要使天平平衡，是不是一定需要两边物体质量相等、距离相等呢？”学生猜想：不一定？基于数字天平实验活动二特例研究的发现生成“问题 3：数字天平上有‘左边质量×距离 ＝ 右边质量×距离’的规律吗？”层层深入富有逻辑性的问题让数学实验与规律探索的过程，趣味盎然又充溢思维的张力。

　第四，价值追寻：实验问题设计的主旨 数学实验问题的设计不是随意的、浅表的、信手捏来的，需要教师们进行数学教材的整体研读、需要对数学学科的本质把握，需要有专业素养的深厚积淀，需要凸显对小学数学实验教学特征的深入理解。其目标指向是学生核心素养的培养，尤其是思维品质的提升。

　1. 聚与散：目标的聚焦与 个性化 的思维发散

　富有思维含量的数学实验问题设计，对实验活动具有引领导向作用，能核心聚焦实验活动的目标。不管是开启小实验的一个问题，还是催生逻辑递进多个实验的问题串，学生都能兴味浓厚地带着实验研究的问题，边做边思，边思边做，内思与外动交融，绽放自己个性化地思维火花，发散思维，创造性地行进于实验创造活动之中。

　观察比照下面几份“分数除以分数”一课的实验单（见图），我们不得不为学生挑战自我创造思维的诉求所折服。在实验问题与方法假设的引领下，学生画图思路，就有不只是图 6

　满足将一个物体或一个计量单位这样的单位“1”平均分，还拓展至一些物体组成的单位“1”去平均分进行实验研究。不仅有常见的化小数、化低单位、化分数单位、做除法想乘法等思考角度，还有独创性的根据分数的基本性质、分数与除法关系进行演绎推理的策略。

　 目标的聚焦与个性化的思维发散，正是源于与实验问题的开放设计与对学生学习能力的信任，也是教师儿童立场的准确定位。

　2. 行与思：动态的操作与 可视化 的 思维品鉴

　为让基于实验问题的研究活动有效充分展开，积极推进学生从问题的准备状态到目标准状态的进程，教师会为学生准备数学实验需要的实验素材，并提供或让学生自主设计相应的问题研究记录单。且行且思，学生思维过程的个性化、多样化轨迹便跃然于眼前，比如上述“分数除以分数”呈现的研究单就是很好的证据。作为差异化的教学资源，激起学生头脑风暴的同时，也层层深入推进学生的学习研究活动。在方法思路的共赏共鸣、品鉴优化中，学生得以发展的不只是记忆、理解等低阶思维，更多是以分析、评价、创造为表征的高阶思维[3] （如图）。

　3. 显与隐：外显的结论与 内隐 的 素养提升

　数学实验是数学学习方式的丰富，数学学科目标聚焦从“双基”到“四基”的有效体现，旨在是强化学生的经历与体验，增强学生的数学活动经验积累与数学思想方法的感悟。基于数学实验问题设计的思考与实践探索，让我们明白，实验探究得到外显的数学知识、规律等不是终极或唯一目标，它们都只是学生思维发展、能力素养提升的载体。

　作为鲜明表征的是，学生在思维活动参与下，获得的可创生、可迁移的知识结构与方法结构（如图）。就像图中所现的平面图形与立体图形的知识体系架构，体现了一般的认知线索与结构，同时从特征到面积、体积等，几乎大部分内容的学习，都可以在学生自主生成实验问题的驱动下，展开实验探究活动，并在自我反思互动评价中提升转化为方法结构。而结构化的积淀正是学生高阶思维的重要表征。因此我门评价的指证更多应定位于内隐的学生思维能力的发展，学生实践与创新能力等素养的提升。

　小学数学实验教学中，站稳儿童立场，视儿童为学习的主体、主人，以数学的“心脏”——“问题”设计切入，学生的数学眼光、理性思维、科学精神等方能落到实处，数学实验的之于数学学科独特的育人价值更能得到彰显。

　参考文献：

　[1] 潘小福.数学实验教学的实施策略[J].教育研究与评论,2015,（8）.

　[2] 丁家永.小学教学心理与教学设计[M].苏州:苏州大学出版社,2001.5. [3] 曾志旺.物理教学中基于问题的高阶思维培养策略. [EB/OL]. https://wenku.baidu.com/view/01be303c7275a417866fb84ae45c3b3567ecddcb.html

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