论对数换底公式在解题中的运用|对数换底公式怎么运用

　　摘要:本文主要考虑了对数换底公式在对数运算,比较对数大小两方面的运用。并由换底公式,推导出几个重要性质,考虑了这些性质的妙用。 　　关键词:对数;换底公式; 同底;化简
　　中图分类号:G640文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)09-0128-01
　　
　　对数换底公式logaN= (a>0且a≠1,c>0且c≠1N>0)在对数的相关运算中具有重要的作用。它可以从左端到右端应用,也可以从右端到左端进行应用。
　　一、对数换底公式在对数运算中的应用
　　一般地,我们将底换为10,即把原来的对数式转化为常用对数式。
　　例1已知3a=4b=36,求+的值
　　解析把a,b表示出来带入求值式即得:+=+=+=1
　　例2计算 log225?log34?log59
　　解析直接运用换底公式得:××=8
　　例3计算+++
　　解析直接从右向左运用换底公式得:
　　+++=4×log525=8
　　二、对数换底公式在比较对数大小方面的应用
　　例4 比较log0.20.1与log0.30.1的大小
　　解析 由于两对数不同底,故可考虑利用换底公式来转化问题。
　　 log0.20.1==,log0.30.1==
　　 故log0.20.1log35
　　三、对数换底公式的两个重要推论及应用
　　推论1 logab?logbc=logac(a>0且a≠1,b>0且b≠1,c>0)
　　注1 由此推论,易得logab?logba=1(a>0且a≠1,b>0且b≠1)
　　推论2logaNbM=logab(a>0且a≠1,b>0)
　　注2 据此推论,我们可以对底数和真数同时做相同的幂运算。
　　例6 已知实数x>1,y>1且满足2logxy-2logyx=3。求T=x2-4y2的最值
　　解析 直接进行变形可得(logxy+2)?(2logxy-1)=0,于是logxy=,即y=
　　 于是T=x2-4x (x>1)所以Tmin=-4
　　例7 已知log=a,log=b,求log81175的值
　　解析 此题直接利用推论2即可求解
　　 因为log=log277=log37=a,所以log37=3a,
　　 又log=log35=b,
　　 所以log81175=log325×7=(log325+log37)
　　=(2log35+log37)=
　　总之,在进行对数运算时,利用对数换底公式,会大大提高解题能力;简化解题过程;加快解题速度。所以在平时的学习中,同学们有必要掌握好换底公式这一有力工具。

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