基于“不教之教”的数学实验学习三因素互动框架

　　摘 要：立足“不教之教”思想，构建实验主体、实验行为、实验环境三因素的互动框架，形成数学实验的符号审美、调节反省、替代预见等一般范式特征。其中，符号审美是数学实验环境的思维基础，调节反省是数学实验行为的监控机制，替代预见是数学实验主体的经验获得。
　　关键词：数学实验 不教之教 互动框架 教学范式
　　著名教育家叶圣陶说过：“教，是为了不教。”“不教”应该是教师教学所要达到的最高境界;“教”不只是“传道授业解惑”，更要“授之以渔”。“不教之教”指不以直接的教育方式进行的教育，亦指在日常言行中很自然地进行的熏陶。
　　根据班杜拉的“社会认知学习论”，人的内在学习特征、学习行为和学习环境三者交互是构成动态思维的决定性因素，其中任何两个因素之间的双向互动关系的强度和模式都随个体、行为、环境的不同而变化。
　　基于“不教之教”理念，数学实验学习的“三因素互动”框架如表1所示。因此，基于“不教之教”理念，数学实验学习起于认知环境建设、成于认知主体自动、终于认知行为需要。换句话说，就是让学生在“自教、他教，我教、你教”的“适性生长”的数学实验环境下，形成自主参与、自力研修的能力，发展动作表象、符号泛在、场依存和场独立能力，落实数学实验促进数学认知的“第一排”思维的“扣子”。进而，基于“不教之教”理念，数学实验学习具有普遍意义和一般化的范式特征。
　　一、符号审美范式，“不教之教”数学实验环境的思维基础
　　一直以来，“环境因素”影响主体认知质量，支配主体行为方向及习得效应的认识具有普遍意义，甚至成为一种思维约定俗成，一种认知审美态度。“问题情境”就是数学实验认知的通用技术。就这一认识来说，符号审美范式是泛在的，是“不教之教”基础属性的目标，关乎“做数学”的环境建设方向，关乎思维符号运动以及审美变量行为。在符号论美学家卡西尔看来，符号作为对象的指称形式（审美课程），其统摄功能具有生成正向人性和塑造人类文化的作用。基于此，在数学实验认知体系中，基于环境互动论研究范畴，符号是指代一定意义的意象（认知情感和审美态度），可以被定义为一种实验操作符号语言。符号审美范式包括符号运动、审美运动和个体认知需要、审美需要、自我实现需要等先行组织行为，以及自我教育课程意识。
　　在数学实验课程论范畴，“不教之教”是一种“理想课程”或“审美课程”“习得课程”。而审美和习得与课堂认知环境高度相关，自动、自得、自教、自性等行为动词都是环境支配的审美状态，都是一种“人学”的审美尺度。其中，符号运动和审美运动表现在实验主题的确立和实验情境的适性把握与建设上。具体来说，从“教好”的角度，就是让学生都能做实验，都做有所得、玩有所获，让“不同人”获得“可能”的发展;从“学好”的角度，就是让学生因“做”而理解知识的来龙去脉，进而获得“柳暗花明”的思维敞亮和“还想再做实验”的内驱力;从“不用教”的角度，就是让学生在“自教”和“自动教”的“做数学”过程中，获得自主研修的习惯，最终实现数学实验环境建设的“有意义”到“有意思”的发展。正如古德莱德（John Goodlad）关于“理想课程—文本课程—理解课程—实施课程—习得课程”的观点，中小学课程设计的（内在）质量在很大程度上制约着课程实施的效果，“不教之教”理念下的数学实验设计也不例外。可以说，实验环境因素的选择与执行影响主体的习得效应和审美内需，最终实现实验课程的本体价值（渐次改善环境，适应“不同人”的审美需求）。
　　例如，数学实验课程研究组在设计“探索直线平行的条件”实验时，基于“思维环境”建設意向，从“做数学”出发，让学生在“山重水复”的思维困顿中获得“柳暗花明”的符号概念能力和审美感知，最终实现基本事实（同位角相等，两直线平行）的把握与知觉审美水平的习得效应。具体实验思维环境建设过程如下：
　　首先，让学生在充分预习的基础上，交流展示用三角板和直尺画平行线的过程，感知两条直线平行的一个决定因素是“同位角相等”，其支配着两条直线平行结论的形成。其中，学生间的“你、我、他”思维交往，就是一种指向“不用教”的“形而上”实验思想，有助于“自动学习”能力的层级和表象表征产生式（production）系统形成。
　　其次，让学生任意画两条直线被第三条直线所截构成的“三线八角”图，在画图的过程中感知“并不是所有的同位角都相等”，体验“同位角相等”条件的必要性。其中，学生的“任意画”“位置特征的确认”“同位角的寻找”都为两条直线的平行进行了铺垫，反映了“自求得之”“不教而教”的“做数学”符号观念。
　　最后，让学生在自主研究例题范式（苏科版初中数学七年级下册第7页例1）的基础上，通过合作交流，指出同位角的构造过程：首先确认同位角是哪两条直线被哪一条直线所截成的，其次添加条件，使得存在直线平行，最后修改或添加条件，使得原本不平行的直线平行。从而锻炼学生的逆向思考能力，最终实现平行事实的习得与理解。
　　数学实验本身也是一种环境符号，“不教之教”行为就是一种环境语言或思维语言或思想文化。就广义的数学实验来说，“画图”是一种“做数学”的实验，反映学好数学的习得效应;“构造‘三线八角’→刻画位置特征→验证基本事实”是获得概念符号的可靠实验途径，其中学生的思维冲突、去经验匹配性、审美差异都是实验感知的结果状态，反映实验课程的美学教育意义，即不止于理解美，更在于创造美的“不教”属性;“添加条件→修改条件→逆向思考→形成论断”则是符号运动的思维表现，反映数学实验“体验”概念的质性思维取向和“教好”概念的审美运动。
　　二、调节反省范式，“不教之教”数学实验行为的监控机制
　　在数学实验监控论范畴，“调节—反省”是“不教之教”数学实验思维着陆的监控机制。进一步而言，反省本身就是一种上位的“不教之教”思想，正如苏格拉底的观念：“不经过反省的人生是不值得活的。”一方面，反省能形成“基本套路”，就像很多数学教师的口头禅“一提、二套、三分解”，这是反思“分解因式”的一个例子;另一方面，反省能让知识关联、概念相关、经验相通，“做一题、通一类、连一片”就是触类旁通的一个可解释的例子;再一方面，反省能让思维有序调节，“顶天立地”是对调节思维的一种刻画与描述，也就是反省能让学生的思维“瞻前顾后”，具体表现为“形而上”的思想和“形而下”的器识。日常实验教学中，折纸活动就是一种数形结合思想的具现，而借助折纸活动寻求一个数学结论或规律，则是数形结合思想得以使用和监控的表现。

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